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  数学探究教学的实践与思考         
数学探究教学的实践与思考
[ 作者:朱勇    转贴自:教桴论坛第三期    点击数:4141    更新时间:2010/11/7    文章录入:教研室

    转变学生的学习方式是新课程改革的重要目标,也是时代赋予教师的新的责任。新课改在转变学生学习方式上的一个重要举措就是强调数学探究。所谓数学探究就是指在教师的引导下,学生积极主动、相对独立地围绕某个数学问题,自主探究、学习的过程,这个过程包括:观察分析数学事实,提出有意义的数学问题,猜想、探求适当的数学结论或规律,并给出解释或证明等。我们在新课程的教学中应力求让学生对数学知识进行探究,以使学生获得理智和情感的体验、知识的建构及掌握解决问题的方法,切实转变学生的学习方式。本文结合教学实践,谈谈如何在数学教学中进行数学探究活动。

    一、重视定义、概念的探究教学,养成探究的习惯

    教材中的数学定义、概念是数学的精髓、灵魂,是对数学现象的高度抽象与概括,只有正确地理解定义、概念,而不是死记硬背,并对其形成的过程和本质进行探究,才将有助于掌握和运用。

案例1、在映射概念的教学中,教师可通过提出以下问题实施探究(也可以通过引导学生去发现并提出问题):

        1)、集合A中的每个元素在集合B中都有像吗?

        2)、集合A中的不同元素在集合B中的像是否相同?

        3)、集合B中的每个元素在集合A中都有原像吗?

    解决了上述问题,学生不仅把握了映射的本质(即多对一或一对一的对应),同时对函数概念的认识也上升到一定的高度。

案例2、北师大版数学必修1教材中在讲述函数的奇偶性时给出了如下的定义:

一般地,图像关于原点对称的函数叫奇函数,图像关于y轴对称的函数叫偶函数。教学中教师可以以奇偶函数的定义为切入点,引导学生展开以下问题的探究:

        1)、奇函数f (x)为什么满足f (x) = f (x),偶函数f (x)为什么满足f (x) = f (x)

        2)、奇函数、偶函数的定义域有何特征?

        3)、f (0) = 0f (x)为奇函数有何关系?

        4)、既是奇函数又是偶函数的函数存在吗?存在多少个?举例说明。

        5)、奇函数、偶函数的单调性有何特征?

    通过师生互动、学生探究不难解决上述问题,这样学生对于奇、偶函数就有了比较深刻的理解,从而才能给以正确的运用。

数学教材中有诸多的定义、概念,这是学生进行数学探究的重要载体,即时进行数学探究,可以使学生养成良好的探究习惯。

    二、重视例、习题的探究教学,促进数学思维迁移

    教材中的例、习题对数学问题的解决起着示范和启迪的作用,因而例、习题的教学是数学教学的重要环节。纵观当前的课堂教学多是“教师讲、学生听”的模式,这将制约了学生思维的发展及个性品质的培养,如果在例、习题教学的一些主要环节上,创设情景,有的放矢地将例、习题设计成探究问题进行课堂教学,并对学生的做法进行归类分析,从单一的求解过程提升到类型问题的思考方法和步骤,则可有效地提高学生的思维水平,以及独立分析问题、解决问题的能力和灵活驾驭新问题的能力,更大限度地发挥例、习题的问题探究效能。

    案例3、北师大版数学必修5的第一章第四节“数列在日常经济生活中的应用”中,涉及到“分期付款模型”问题即例3

    小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款的方式,并在一年内将款全部还清。商场提出的付款方式为:购买后2个月第一次付款,再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8,每月利息按复利计算。求小华每期付的金额是多少?

    在师生共同分析并解决此题后,教师可引导学生做如下探究:

        1)、本题可否通过构建数列模型来解决?

    只要设第n次还款后还欠款an, a1 = 5000(10.8%)  x an= a n110.8%)- x ,由递推关系求出通项an并由条件知a6 = 0即得,此解法从本质上体现了数列思想的运用。

        2)、还有其他解法吗?如假设小华每期还款x 元,则第一次还款x 元,其实质不仅还了x 元,而且将这x 元在其后10个月的利息也还了,因此相当于还了x10.8%  元,于是得方程:x10.8% x10.8%)+…+x10.8%)+x = 500010.8%    ,等等。

        3)、按课本P35给出的思考交流进行探究。

        4)、在例3中,指出月利率按复利计算,如果要求月利率按单利计算,结果又如何呢?这是一个极具挑战性的问题,其问题主要表现在:每期还的x元是还本金呢?还是还利息呢?如果本金、利息一起还,那么x元中多少还本金?解决上述问题不仅有趣,而且能力要求较高,充分展示了数列在日常经济生活中的应用。

案例4、北师大版数学必修5 第二章解三角形,P57习题22B组第2题:圆内接四边形ABCD的边长分别为AB = 2BC = 6CD = DA = 4,求四边形ABCD的面积。这曾是2001年安徽省文科的一道高考题,学生首先想到的是连ACBD,利用余弦定理和面积公式得之,接着教师可引导学生继续探究:

        1)、计算四边形面积常用的重要方法是什么?(割补法)以上我们采用了割法,可否采用补法呢?(补成三角形,利用相似三角形的性质求解)

        2)、问题中给出的四个数据很特别,结合圆内接四边形的性质,你能简解吗?(在BC上取点E,使BE = 2,则可证明三角形CDE是正三角形,从而C = 600,不仅简捷,而且明快!)

        3)、如果圆内接四边形的四个边长分别为abcd,那么其面积又是多少?(学生探究,不难得到类似于海伦公式的圆内接四边形的面积表示式

S =

其中p =   (abcd)

       4)、对此教师还可进一步提出问题:圆内接四边形的面积的表示式具有如此优美的形式,那么对任意四边形当已知四边长时可否求其面积?(不能)需要增添什么条件?(对角之和或其他条件)又如何表示其面积呢?此问题可作为课内探究的延伸,让有兴趣的学生在课外探究。

例、习题教学是学生学会思考、养成良好解题习惯的主要途径。实践表明,教师直接传授给学生的技巧,往往难以被灵活运用,而教师摒弃代庖,引导学生不满足于一得之见,设置航标,积极探究,是变被动接受为主动学习的重要举措。在探究活动中 ,学生的心智充分地参与,激发兴趣,开发智力,能有效地培养独立思考能力,提高数学思维品质。

    三、重视教材中“探究”素材的教学,培养学生探究能力

    新课程教材区别于大纲版的一大亮点就是增加一定数量的探究素材,开辟了诸如“思考交流”、“阅读材料”、“课题学习”、“信息技术应用”等拓展性栏目,并独立地设置了“探究活动”,为有兴趣、有特长、有能力的学生提供了探究的空间。教学中教师应有选择地利用这一亮点引导学生开展数学探究,使课内探究自然而然地延伸到课外,达到课内探究与课外探究有机结合的目的。如北师大版数学必修3第二章《算法初步》中P87的“阅读材料”(物不知数)就是一个很好的探究课题,材料给学生明确提出了三个探究问题,通过探究,一方面丰富了知识、提高了能力,另一方面也使学生领略到我国古代数学家的聪明才智;又如本章P115的“课题学习”,这是对本章第二节所涉及内容的补充与提高,同样指出了需要探究的三个问题,并且通过引入了二进制明确了问题的答案,从而让学生感受到数学美之所在。教材中的探究素材是数学探究不可多得的资源,教师要给予充分地利用,不能以时间紧、内容多为理由而放弃对此的探究,这将让学生失去对诸多富有思想和人文价值的问题的探究机会,不仅偏离了新教材编写的初衷,也不符合新课程的理念。当然,这种探究应当切合学生实际,量力而行,不宜花费学生太多的精力。

    四、一点思考

    “学习任何知识的最佳途径是自己去发现,因为这种发现理解最深,也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”(波利亚语)这正是数学探究的价值所在。在数学探究中,教师应成为探究课题的创造者,为指导学生进行数学探究做好充分准备,并积累指导学生进行数学探究的资源。在课堂教学中,堂堂搞探究是不可能的,事实上,一个学期能有几节就不错了,但经常地每节课有那么一小段探究还是必要的,且不可为探究而探究。需要指出的是,探究学习不存在固定的路径,因而不宜一味地探寻和研究其程序和模式,关键在于对其精神实质的领悟。也许学生的探究成果有时显得简单或幼稚,甚至有错,这并无大碍,重要的是学生能从现有的知识水平出发,通过不断探索,去体验数学探究过程中执着、不畏艰难、富有理智的创造性思考,培养一种科学探究、实事求是的精神,这正是数学探究所具有的独特的育人功能和魅力之所在。

 

    参考文献

        1.普通高中课程标准实验教科书  数学(必修135 北师大版 

        2.G.波利亚  怎样解题

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